பின்னோக்கி எண்ணுவது நீங்கள் நினைப்பதை விட கடினம் — கழித்தல் தொடங்குவது இப்படித்தான்

சாதாரணமாகத் தோன்றும், ஆனால் சாதாரணம் அல்லாத திறன்

ஒரு K2 பெற்றோரிடம் தங்கள் குழந்தை 20 வரை எண்ண முடியுமா என்று கேட்டால், உடனடியாக ஆம் என்று பதில் வரும். தங்கள் குழந்தை 20-ல் இருந்து பின்னோக்கி எண்ண முடியுமா என்று கேட்டால், பதில் தாமதமாகும். சிலர், அன்று மாலை தங்கள் குழந்தையை சோதித்துப் பார்க்கும்போது, ஐந்து வயது குழந்தை 15 வரை எண்ணி, தடுமாறி, 12-க்குத் தாவி, 9-ஐச் சுற்றி கைவிடுவதைக் கண்டு ஆச்சரியப்படுகிறார்கள். 50 வரை நம்பிக்கையுடன் பாடும் அதே குழந்தை, பின்னோக்கி எண்ணும்போது முற்றிலும் ஸ்தம்பித்துப் போகலாம்.

இது ஒரு குறைபாடு அல்ல. பின்னோக்கி எண்ணுவது ஏன் முக்கியம் என்பதற்கான முழு காரணமும் இதுதான். முன்னோக்கி எண்ணுவது மனப்பாடம் — குழந்தை ஆயிரம் முறை கேட்ட ஒரு பாடல். பின்னோக்கி எண்ணுவது ஒவ்வொரு அடியிலும் நிகழ்த்தப்படும் ஒரு மன செயல்பாடு. அங்கே பாடல் இல்லை. அங்கே ஒரு குழந்தை தன் மனதில் ஒரு எண்ணை வைத்துக்கொண்டு "இதற்கு முன்பு என்ன வந்தது?" என்று கேட்கிறது. அந்த கேள்வி, தொடர்ந்து இருபது முறை கேட்கப்படுவது, கழித்தலின் அடிப்படையாகும்.

முன்னோக்கி எண்ணுவது ஒரு பாடல். பின்னோக்கி எண்ணுவது கணிதம்.

ஒரு குழந்தை "ஒன்று, இரண்டு, மூன்று, நான்கு, ஐந்து" என்று எண்ணுவதைப் பாருங்கள், நீங்கள் வெறும் நினைவு கூர்தலைப் பார்க்கிறீர்கள். இந்த வரிசை மழலையர் பாடல்களை வைத்திருக்கும் மூளையின் அதே பகுதியில் வாழ்கிறது. ஒரு K1 குழந்தையை நள்ளிரவில் எழுப்பினால் கூட, அது பத்து வரை எண்ணிவிடும்.

இப்போது அதே குழந்தையை "ஐந்து, நான்கு, மூன்று, இரண்டு, ஒன்று" என்று எண்ணச் சொல்லுங்கள். அதன் முகத்தைப் பாருங்கள். ஒவ்வொரு எண்ணுக்கும் முன் ஒரு இடைநிறுத்தம் இருக்கும். அவை மனப்பாடம் செய்வதில்லை — அவை கணக்கிடுகின்றன. ஒவ்வொரு அடியிலும் தற்போதைய எண்ணை வேலை நினைவகத்தில் (working memory) வைத்துக்கொண்டு, மனதளவில் அதை ஒரு எண் கோட்டில் (number line) கண்டறிந்து, ஒரு நிலை இடதுபுறம் நகர்ந்து, புதிய எண்ணைப் பதிவு செய்து, பின்னர் வேலை நினைவகத்தைப் புதுப்பிக்க வேண்டும்.

ஒரு ஐந்து-படி அறிவாற்றல் பணி, ஒவ்வொரு எண்ணுக்கும் மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படுகிறது. ஒரு குழந்தை 20-ல் இருந்து "ஒன்று" வரை அடையும்போது, அதை இருபது முறை செய்திருக்கும். அதனால் தான் அது அவர்களை சோர்வடையச் செய்கிறது என்பதில் ஆச்சரியமில்லை. 15 மற்றும் 13-க்கு இடையில் 14-ஐத் தவிர்ப்பதில் ஆச்சரியமில்லை — அவர்களின் வேலை நினைவகம் ஒரு கணம் தடுமாறியது.

இதுவே P1-ல் "20-ல் இருந்து 6-ஐ எடுத்தால்" என்பதற்குத் தேவைப்படும் அதே இயந்திரம், கிட்டத்தட்ட. கழித்தல் என்பது ஒரு இலக்குடன் பின்னோக்கி எண்ணுவதே ஆகும். பின்னோக்கி எண்ணுவது தடுமாறினால், கழித்தலும் தடுமாறும். P1 பாடத்திட்டம் இதை சத்தமாகச் சொல்லவில்லை, ஆனால் அதை அனுமானிக்கிறது.

K1 → K2 → P1 முன்னேற்றம்

MOE-இன் Nurturing Early Learners கட்டமைப்பு மற்றும் P1 ஆசிரியர்கள் வரும் குழந்தைகள் கையாள எதிர்பார்க்கும் திறன்களிலிருந்து வரையப்பட்ட நியாயமான முன்னேற்றத்தின் ஒரு தோராயமான வரைபடம்:

• K1 இறுதி (5 வயது). 20 வரை முன்னோக்கி சீராக எண்ணும். 5-ல் இருந்து உதவியுடன் பின்னோக்கி எண்ணும், நம்பிக்கை இருந்தால் 10-ல் இருந்து. "7-க்கு முன் என்ன வரும்?" என்பது கடினம் ஆனால் உருவாகி வருகிறது.
• K2 நடுப்பகுதி (5.5 வயது). 10-ல் இருந்து தெளிவாக பின்னோக்கி எண்ணும். 20-ல் இருந்து பின்னோக்கி எண்ணத் தொடங்குகிறது ஆனால் டீன் எண்களில் தடுமாறும், குறிப்பாக 14, 13, 12 சுற்றி. பத்தாண்டுகளின் எல்லை (20-ல் இருந்து 19) சரியாக வரலாம், வராமலும் போகலாம்.
• K2 இறுதி (6 வயது). 20-ல் இருந்து தெளிவாக பின்னோக்கி எண்ணும். 1 முதல் 20 வரையிலான எந்த எண்ணுக்கும் "ஒன்று குறைவு" என்பதை மீண்டும் எண்ணாமல் அறியும். "13-க்கு முன் என்ன வரும்?" என்பதற்கு ஒன்று அல்லது இரண்டு வினாடிகளுக்குள் பதிலளிக்கும்.
• P1 முதல் பருவம் இறுதி (6.5 வயது). 10-க்குள் கழித்தல் சரளமாக இருக்கும். மன மாதிரி இனி "ஒவ்வொன்றாக பின்னோக்கி எண்ணுதல்" அல்ல — அது "5-ல் இருந்து 2-ஐ எடுத்தால் 3 தான்" என்று ஆகிறது.

"முன்" என்பது "பின்" என்பதை விட ஏன் கடினம்

உங்களையே இதை முயற்சித்துப் பாருங்கள்: 13-க்கு பின் என்ன வரும்? எளிது — 14, யோசிக்கத் தேவையில்லை. 13-க்கு முன் என்ன வரும்? கிட்டத்தட்ட எல்லோரும் அரை நொடி தயங்குவார்கள். பெரியவர்களும் கூட. "முன்" திசை நம் மூளையில் "பின்" திசைக்கு சமச்சீரானது அல்ல.

இதற்கு காரணம் வெளிப்பாடு (பயிற்சி/அறிமுகம்). நாம் எண் வரிசைகளை ஆயிரக்கணக்கான முறை முன்னோக்கி சொல்கிறோம், அரிதாகவே பின்னோக்கி சொல்கிறோம். முன்னோக்கி திசை தானியங்கி; பின்னோக்கி திசை ஒவ்வொரு முறையும் மீண்டும் கட்டமைக்கப்பட வேண்டும், பெரியவர்களுக்கு கூட — இருப்பினும் நாம் அதில் வேகமாகிவிட்டோம். ஒரு K2 குழந்தை அப்படி இல்லை. அவர்களுக்கு, "8-க்கு முன் என்ன வரும்?" என்பதற்கு ஒரு சிறிய மன ரீதியான பின்னோக்கிச் சுழற்சி தேவைப்படலாம்: "1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 — ஓ, 7."

இதனால்தான் ஒரு குழந்தை "8-ஐ விட ஒன்று அதிகம் என்ன?" என்று உடனடியாக பதிலளிக்க முடியும், அதே நேரத்தில் "8-ஐ விட ஒன்று குறைவு என்ன?" என்று தடுமாறுகிறது. ஐந்து வயது குழந்தையின் மூளைக்கு இது ஒரே கேள்வி அல்ல. இதற்கு தீர்வு வெளிப்பாடு — "முன்" கேள்வி ஒரு வாரத்தில் பல டஜன் முறை கேட்கப்படுவது.

பொதுவான K2 தடுமாற்றங்கள்

ஒரே மாதிரியான சில தடுமாற்றங்கள் மீண்டும் மீண்டும் தோன்றும்:

• 15 மற்றும் 13-க்கு இடையில் 14-ஐத் தவிர்த்தல். டீன் எண்கள் ஒத்த ஒலி மற்றும் சந்தம் கொண்டவை. தசை நினைவகம் காரணமாக முன்னோக்கி எண்ணுவது சீராக நகரும். 14-ஐ வெளியே இழுக்க தசை நினைவகம் இல்லாததால் பின்னோக்கி எண்ணுவது தடுமாறும்.
• 11 மற்றும் 10-க்கு இடையில், அல்லது 10 மற்றும் 8-க்கு இடையில் 9-ஐத் தவிர்த்தல். 10-ல் இருந்து 9-க்கு மாறுவது கடினம். குழந்தை அப்போதுதான் "டீன்" மண்டலத்தை விட்டு வெளியேறியிருக்கும். பலர் 10-ல் ஒரு சுவரைத் தாக்கியது போல் நின்று, பின்னர் 8-க்குத் தாவுவார்கள்.
• பத்தாண்டுகளின் எல்லைகள். 20-ல் இருந்து 19, 30-ல் இருந்து 29. பின்னோக்கி செல்லும்போது, 20-க்கு பிறகு 19 வரும், 29 அல்ல, 10 அல்ல என்பதை குழந்தை நினைவில் கொள்ள வேண்டும்.
• இடையில் கவனத்தை இழத்தல். குழந்தை 20-ல் தொடங்கி, சுமார் 15 வரை வந்து, பின்னர் வேலை நினைவகம் குறைகிறது. அவை மீண்டும் தொடங்கி, மேலும் சென்று, மீண்டும் குறைகின்றன. இது வேலை நினைவக சுமை பிரச்சனை, அறிவு பிரச்சனை அல்ல.
• தொடங்க மறுத்தல். முன்னோக்கி எண்ணுவது வேடிக்கையாகவும் வெற்றிகரமாகவும் உணர்கிறது. பின்னோக்கி எண்ணுவது வேலை போல உணர்கிறது, ஏனெனில் அது வேலைதான். குழந்தை இதை சரியாகவே கவனித்திருக்கிறது.

சுபிடைசிங் (Subitising) மற்றும் கழித்தலுக்கான தொடர்பு

ஐந்து புள்ளிகளைக் காட்டும் ஒரு பகடையைப் பார்த்து, எண்ணாமல் "ஐந்து" என்று சொல்லக்கூடிய ஒரு குழந்தை — சுபிடைசிங் (Subitising), உடனடி அளவு அங்கீகாரம் — 5-இன் கார்டினாலிட்டி (அளவு) அதன் மனதில் ஒரு பொருளாக உள்ளது, வெறும் மனப்பாட முடிவாக அல்ல. 5-ல் இருந்து பின்னோக்கி எண்ணச் சொல்லும்போது, அவை உண்மையில் புரிந்துகொண்ட ஒரு அளவிலிருந்து கீழே இறங்குகின்றன. வழியில் உள்ள எண்கள் அர்த்தமுள்ளவை. சுபிடைசிங்கை சரியாகப் புரிந்துகொள்ளாத ஒரு குழந்தை, இன்னும் ஓரளவு அர்த்தமற்ற வார்த்தைகளின் சரம் வழியாக பின்னோக்கி எண்ணுகிறது. பிடித்துக்கொள்ள எதுவும் இல்லாததால் அவை கவனத்தை இழக்கின்றன. எனவே பின்னோக்கி எண்ணுவது தடுமாறினால், சுபிடைசிங்கை கவனியுங்கள் — பகடை விளையாட்டுகள், புள்ளி அட்டைகள், பத்து-கட்டங்கள் (ten-frames).

கழித்தலுக்கான தொடர்புதான் முக்கிய புள்ளி. P1 பாடத்திட்டம் முதல் பருவத்தில் 10-க்குள் கழித்தலை அறிமுகப்படுத்துகிறது, பின்னர் ஆண்டு நடுப்பகுதியில் 20-க்குள் கழித்தலை அறிமுகப்படுத்துகிறது. குழந்தைக்கு இரண்டு மன உத்திகள், வரிசையாகக் காட்டப்படுகின்றன:

• பின்னோக்கி எண்ணுதல். "5-ல் இருந்து 2-ஐ எடுத்தால்" என்பது 5-ல் தொடங்கி 2 எண்களைப் பின்னோக்கி எண்ணுவதாகும்: நான்கு, மூன்று. பதில்: 3.
• எண் பிணைப்புகள் (Number bonds). "5-ல் இருந்து 2-ஐ எடுத்தால்" என்பது 5 என்பது 2 மற்றும் 3-ஆல் ஆனது என்பதை அங்கீகரிப்பதாகும், எனவே 2-ஐ எடுத்தால் 3 எஞ்சும்.

தெளிவான K2 → P1 பரிமாற்றத்திற்கு, கழித்தல் அறிமுகப்படுத்தப்படுவதற்கு முன்பே 20-ல் இருந்து பின்னோக்கி எண்ணுவது ஏற்கனவே தானியங்கி ஆக இருக்க வேண்டும்.

நூற்றுவர் அட்டவணை, தலைகீழாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது

வீட்டில் நூற்றுவர் அட்டவணையைப் (hundreds chart) பயன்படுத்தும் பெரும்பாலான பெற்றோர்கள் அதை முன்னோக்கி பயன்படுத்துவார்கள்: "47-ஐக் கண்டுபிடி, இப்போது 48-ஐக் கண்டுபிடி." அதை தலைகீழாக முயற்சித்துப் பாருங்கள். ஒன்றை அச்சிடுங்கள் (அல்லது உங்கள் தொலைபேசியில் படத்தைச் சேமிக்கவும்). 20-ஐ சுட்டிக்காட்டி, உங்கள் விரலை இடதுபுறமாக, ஒரு கட்டமாக நகர்த்தி, ஒவ்வொரு எண்ணையும் உங்கள் குழந்தையுடன் சொல்லுங்கள்.

இந்த வயதில் காட்சி ஆதரவு முக்கியம். பின்னோக்கி எண்ணுவது ஒரு சுருக்கமான மன செயல்பாடு அல்ல, மாறாக இடதுபுறமாக ஒரு உடல் இயக்கம் என்பதை குழந்தை பார்க்கிறது. இந்த அட்டவணை இறுதியில் அவர்களின் மனதில் வாழும் மன எண் கோட்டிற்கான சாரமாக (scaffolding) மாறுகிறது.

அட்டவணையுடன் அவர்களால் செய்ய முடிந்ததும், பாதியை ஒரு காகிதத்தால் மூடி, மீதியை நினைவிலிருந்து செய்ய விடுங்கள். பின்னர் மேலும் மூடுங்கள். இரண்டு வாரங்கள் இதைச் செய்தால் பெரும்பாலான K2 குழந்தைகள் உண்மையான முன்னேற்றம் அடைவார்கள்.

போனஸ் பயிற்சி: அட்டவணையில் எந்த எண்ணையும் சுட்டிக்காட்டி "இதற்கு முன் என்ன வரும்?" என்று கேளுங்கள். ஒரு எண் மட்டும், தோராயமாக. "முன்" கேள்வி நேரடியாகப் பயிற்சி செய்யப்பட்டது — எனக்குத் தெரிந்த பின்னோக்கி எண்ணுவதற்கான அதிக பலன் தரும் மூன்று நிமிட செயல்பாடு இதுதான்.

உண்மையில் வேலை செய்யும் செயல்பாடுகள்

நல்ல செய்தி என்னவென்றால், பின்னோக்கி எண்ணுவதற்கு பணித்தாள்கள் (worksheets) தேவையில்லை. பணித்தாள்கள் உண்மையில் அதை மோசமாக்குகின்றன, ஏனெனில் குழந்தை அதை ஒரு முறை செய்துவிட்டு, வரிசையை சத்தமாக ஒருபோதும் சொல்வதில்லை. வாய் மற்றும் காதுதான் பெரும்பாலான கற்றலைச் செய்கின்றன.

• ராக்கெட் கவுண்ட்டவுன். "பத்து, ஒன்பது, எட்டு... புறப்படு!" ஒவ்வொரு ஐந்து வயது குழந்தையும் இதை விரும்பும். லிஃப்டில், தூங்குவதற்கு முன், தண்ணீர் ஊற்றுவதற்கு முன் இதைச் செய்யுங்கள். "புறப்படு" என்ற முடிவு வரிசையை முயற்சிக்குரியதாக இல்லாமல் வெகுமதி அளிப்பதாக மாற்றுகிறது. 10 எளிதானதும், 15-ல் தொடங்குங்கள். பின்னர் 20.
• லிஃப்ட் விளையாட்டுகள். சிங்கப்பூர் HDB வாழ்க்கை இதை இலவசமாக்குகிறது. 9-வது தளத்தை அழுத்தி, லிஃப்ட் இறங்கும்போது "ஒன்பது, எட்டு, ஏழு..." என்று சொல்லுங்கள். கதவு ஒலிகளுக்கு ஏற்ப எண்ணிக்கையை பொருத்துங்கள். குழந்தை எண்ணிக்கையை கீழே செல்வதைக் கேட்கிறது, சொல்கிறது, மற்றும் உணர்கிறது.
• "முன் என்ன வரும்?" விரைவுத் துப்பாக்கி. நடக்கும்போது, காரில், இரவு உணவின் போது: "8-க்கு முன் என்ன வரும்?" "12-க்கு முன் என்ன வரும்?" தோராயமாக, எச்சரிக்கை இல்லாமல், அட்டவணை இல்லாமல். ஒரு நாளைக்கு ஐந்து. மிகவும் நேரடியான பயிற்சி.
• ஒன்று குறைவு. சொற்றொடரை மாற்றவும். "14-ஐ விட ஒன்று குறைவு என்ன?" அதே திறன், வேறு வார்த்தைகள். P1 பிரச்சனைகள் இரண்டையும் பயன்படுத்துகின்றன.
• பகடை கழித்தல். இரண்டு பகடைகளை உருட்டவும். பெரியது கழித்தல் சிறியது. தேவைப்பட்டால் எண்ணும் கருவிகளை (counters) பயன்படுத்தவும். குழந்தை உடல் ரீதியாக எண்ணும் கருவிகளை அகற்றி, எஞ்சியவற்றை எண்ணும் — கழித்தலில் பின்னோக்கி எண்ணுதல் ஆரம்பத்திலிருந்தே உட்பொதிக்கப்பட்டுள்ளது.
• பொத்தான்களை மறைத்தல் (Hide-the-buttons). 8 பொத்தான்களை அடுக்கவும். குழந்தை அவற்றை எண்ணும். உங்கள் கையால் மூன்றை மூடுங்கள். "எத்தனை மறைக்கப்பட்டுள்ளன?" இது பின்னோக்கி எண்ணுதல் அல்லது எண் பிணைப்புகளை கட்டாயப்படுத்துகிறது. எந்தப் பாதையும் நல்ல பயிற்சிதான்.

மூன்று நிமிட தினசரி வழக்கம்

நீங்கள் ஒரு காரியத்தைச் செய்தால், இதைச் செய்யுங்கள். ஒவ்வொரு மாலையும், இரவு உணவுக்குப் பிறகு அல்லது தூங்குவதற்கு முன்:

• தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட எண்ணிலிருந்து ஒரு முழு பின்னோக்கி எண்ணுதல். உங்கள் குழந்தை தடுமாறினால் 10-ல் தொடங்குங்கள், நடுநிலையாக இருந்தால் 15-ல், வலுவாக இருந்தால் 20-ல். ஒவ்வொரு எண்ணையும் ஒன்றாகச் சொல்லுங்கள். முடித்ததற்குப் பாராட்டுங்கள்.
• மூன்று "முன்" கேள்விகள். தோராயமான எண்கள், பெரும்பாலும் 5-15 வரம்பில். "9-க்கு முன் என்ன வரும்?" "13-க்கு முன் என்ன வரும்?" குழந்தை ஐந்து வினாடிகளுக்கு மேல் தடுமாறினால் தவிர குறிப்பு கொடுக்க வேண்டாம் — நோக்கம் நேரடி மீட்டெடுப்பு.
• ஒரு "ஒன்று குறைவு" கேள்வி. அதே திறன், வேறு வடிவம். "11-ஐ விட ஒன்று குறைவு என்ன?"
• ஒரு சிறிய வெற்றி. அவர்களால் எளிதாக